자연상수 e에 숨은 투자 비밀

자연상수 e

전자기기, 인터넷, 자동차, 비행기, 도로, 교량, 보험, 파생상품, 암호화폐, 진화, 자율주행, 고층빌딩, 약, 화장품 등 수없이 많은 분야에서 사용되고 있는 중에서 자연상수 e는 자연의 연속적인 성장을 다루는 분야에서 특히 중요하게 사용됩니다. 투자도 자산의 연속성장을 목표로 하기 때문에 투자의 세계에는 자연상수가 담겨 있습니다. 자연상수 e는 다음과 같이 정의하며, 끝이 없는 무한소수이자 초월수입니다.

복리 예금으로 이해하는 자연상수 e

자연상수를 직관적으로 이해하기 위해 흔히 사용하는 복리 예금상품을 예로 들어보겠습니다. 1억 원을 넣으면 1년 후에 2억 원을 주는 예금이 있다고 합시다. 이 예금의 이자율은 100%입니다. 이것을 식으로 표현하면 다음과 같습니다.

 

이런 말이 안 되는 이자를 준다는 은행이 불안합니다. 그래서 먼저 6개월만 투자했다가 진짜로 이자를 주는지 확인한 뒤에 다시 6개월 투자해도 되냐고 물었더니 그렇게 해도 된다고 하네요. 단, 6개월 이자는 연 이자율 100%의 반인 50%를 적용합니다. 즉 6개월 동안 50%의 이자를 받고 6개월 후 다시 50%로 투자하는 것이죠. 이렇게 투자한다면 1년 후 통장에 남는 돈은 다음과 같습니다.

1년 동안 1번 투자했을 때는 1억 원의 이자를 더해 총 2억 원을 받지만, 2번 나누어 투자했더니 2억 2,500만 원을 받을 수 있습니다. 단순히 기간만 6개월씩 2번으로 나누어 투자했을 뿐인데 2,500만 원이 더 생겼습니다.

4개월씩 나누어 1년에 3번 투자해도 되느냐고 물으니, 역시 된다고 합니다 연이율 100%의 3분의 1인 33.3%를 4개월 동안 적용받고, 원리금을 재투자해서 다시 33.3%를 4개월 후 에 받고, 마지막으로 4개월 재투자, 이렇게 총 3번에 걸쳐 투자합니다.

이번에는 3,704만 원이 더 생겼습니다. 더 많이 나누어 투자하면 어떨까요? 은행의 답변은 하루에 한 번씩 365번 나누어 투자도 가능하고, 쉬는 날도 없다고 합니다. 4개월에 1번씩 3번 나누어 투자했을 때 원래 이자보다 3,704만 원을 더 벌었으니, 365번 나누어 투자하면 못해도 수십 배가 되지 않을까요?

계산을 해봤더니 이상합니다. 몇 십 억은 더 벌 줄 알았는데 약 7,157만 원 증가에 그쳤습니다. 365번으로는 부족한 것일까요? 그럼 1시간에 1번씩 8,760번(365일×24시간) 투자하면 어떨까요? 역시 7,157만 원 언저리에서 크게 늘지 않습니다.

이번에는 투자 횟수를 무한대로 나누어 계산해보았습니다.

2억 7,183만 원에 수렴하게 됩니다. 연 이자율 100%를 목표로 투자기간을 무수히 짧게 나누어 무한 번 투자했을 때, 최종적으로 받을 수 있는 원리금은 약 2억 7,183만 원에 수렴하는 것이죠. 이것을 ‘자연상수’라고 합니다. 자연상수는 실제로 특히 일수를 받는 대부업자들이 직감적으로 알고 있는 수이기도 합니다.

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투자에서 자연상수 e

자연상수 e는 다음과 같이 정의하기도 합니다.

“자연에서 2배100% 성장을 목표로 1사이클(cycle, 주기을) 무수히 나누어 성장(연속성장)했을 때 가질 수 있는 최대 성장량.”

투자에서는 자연상수 e를 이렇게 표현할 수 있습니다.

자연상수 e = 투자에서 2배(100%) 자산 증가를 목표로 1사이클을 무수히 나누어 투자(연속투자)했을 때 얻을 수 있는 최대 자산 증가량

여기서 중요한 개념은 최대 자산 증가량, 사이클, 그리고 목표100%입니다.

 

최대 자산 증가량

앞에서 예시로 들었던 예금을 다시 정리해볼까요.

 

1번 나누어 투자할 때 원금이 2배

2번 나누어 투자할 때 원금이 2.25배

3번 나누어 투자할 때 원금이 2.37배

365번 나누어 투자하면 원금이 2.716배

무수히 나누어 투자하면 원금이 약 2.718배

1번 투자했을 때는 원금이 2배가 되고, 무수히 나누어 투자하면 2.718배가 됩니다. 이때 추가로 주는 0.718배가 추가로 얻을 수 있는 이자의 최대치입니다. 즉 시간을 쪼개어 열심히 투자하는 사람에게 주는 자연의 선물이며 보너스인 셈입니다. 하지만 아무리 욕심을 부려도 더 이상은 얻을 수 없습니다.

 

사이클

사이클(Cycle)은 투자 지속 연수를 의미합니다. 만약 앞의 경우에 1년이 아니라 2년을 무수히 나누어 투자(2사이클)하면 어떻게 될까요? 최대 성장량은 약 2.718배이므로 2년 투자 시 2.718 × 2.718배가 될 것입니다.

이처럼 여러 해 지속적으로 투자하면 자산은 자연상수 e의 지수 형태로 표현됩니다.

 

목표

그렇다면 만약 연이율 100%가 아닌 20%를 목표로 투자한다면 어떻게 될까요? 이해를 돕기 위해 앞에서와 같이 순서대로 진행해보겠습니다.

어디서 많이 본 듯하지 않나요? 앞에서 자연상수를 나타내는 식과 비슷합니다.

즉 괄호 안의 1이 가지는 의미는 ‘목표 100%’였죠. 100%는 1이니까요. 그렇다면 목표 20%의 최대치는 얼마가 될까요?

20%를 목표로 시간을 쪼개어 열심히 투자했다면, 최대 약 1.221배를 줍니다. 1.2배를 주지만, 무수히 나누어 투자하면 여기에 수익의 10.5%를 추가로 주는 것입니다.목표를 10퍼센트, 5퍼센트라면 각각 이렇게 표현할 수 있습니다.

위의 값을 기억하세요. 목표수익률이 정해지면 기대할 수 있는 최대 자산증가량은 자연상수에 목표수익률을 지수로 가지는 형태로 표현됩니다.

정리하면, 투자에서 자연상수 e는 ‘배(100%) 자산 증가를 목표로 1사이클을 무수히 나누어 투자(연속투자)했을 때 얻을 수 있는 최대 자산 증가량’을 말하고, 목표나 투자기간에 따라 최대 자산 증가량은 자연상수 e에 기간과 목표 수익률의 곱이 지수인 형태로 표현됩니다.

예를 들어 B씨가 연 20%의 자산 증가를 목표로 투자하고 있는데, 5년 동안 시간을 쪼개 열심히 투자(연속투자)한다면, 이 사람이 가질 수 있는 최대 자산 증가량은 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

즉 B씨의 자산증가율은 최대 약 2.718배입니다. 조금 어려운 수식이 많고 이해하기 힘든 개념이지만, 꼭 기억했으면 좋겠습니다. 이처럼 어떤 목표를 가지고 열심히, 꾸준히 투자했을 때 자연은 우리에게 보너스를 줍니다. 그리고 그 최대치를 알려주는 숫자가 바로 자연상수 e입니다.

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이 포스트는 『투자의 재발견』(이고은 지음)에서 발췌 재정리한 것입니다.